מערכות מספרים

מערכת מספרים היא מערכת כללים לייצוג מספרים באמצעות סימנים מספריים שונים. מערכות המספרים מסווגות לשני סוגים: לא-מיקום ומיקום.

במערכות מספר מיקום, ערכה של כל ספרה אינו תלוי במיקום שהיא תופסת, כלומר במקום שהיא תופסת בקבוצת הספרות. במערכת הספרות הרומיות, יש רק שבע ספרות: אחת (I), חמש (V), עשר (X), חמישים (L), מאה (C), חמש מאות (D), אלף (M). באמצעות מספרים (סמלים) אלה, שאר המספרים נכתבים בחיבור וחיסור. לדוגמה, IV הוא הסימון של המספר 4 (V - I), VI הוא המספר 6 (V + I), וכן הלאה. המספר 666 כתוב בשיטה הרומית באופן הבא: DCLXVI.

הסימון הזה פחות נוח מזה שאנחנו משתמשים בו כרגע. כאן כתוב שש עם סמל אחד (VI), שש עשרות עם אחר (LX), שש מאות ושליש (DC). קשה מאוד לבצע פעולות אריתמטיות עם מספרים שנכתבו במערכת הספרות הרומית. כמו כן, חסרון נפוץ של מערכות לא-פוזיציוניות הוא המורכבות של ייצוג מספרים גדולים מספיק בהן כדי לגרום לסימון מסורבל ביותר.

עכשיו שקול את אותו מספר 666 במערכת המספרים המיקוםיים. סימן בודד 6 אומר בו מספר האחדים אם הוא במקום האחרון, מספר העשרות אם הוא במקום הלפני אחרון, ומספר המאות אם הוא במקום השלישי מהסוף. עקרון זה של כתיבת מספרים נקרא מיקום (מקומי). בהקלטה כזו, כל ספרה מקבלת ערך מספרי בהתאם לא רק בסגנון שלה, אלא גם במקום שבו היא עומדת כאשר המספר נכתב.

במערכת המספרים המיקוםיים, כל מספר המיוצג כ-A = +a1a2a3 … ann-1an יכול להיות מיוצג כסכום

כאשר n - מספר סופי של ספרות בתמונה של מספר, ii מספר i-go digit, d - בסיס מערכת המספרים, i - מספר סידורי של הקטגוריה, dm-i - "משקל" של קטגוריית i-ro . הספרות ai חייבות לספק את אי השוויון 0 <= a <= (d — 1).

עבור סימון עשרוני, d = 10 ו- ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

מכיוון שמספרים המורכבים מאחדים ואפסים יכולים להיתפס כמספרים עשרוניים או בינאריים כאשר משתמשים בהם יחד, בדרך כלל מצוין הבסיס של מערכת המספרים, למשל (1100)2-בינארי, (1100)10-עשרוני.

במחשבים דיגיטליים, נעשה שימוש נרחב במערכות שאינן עשרוניות: בינארית, אוקטלית והקסדצימלית.

מערכת בינארית

עבור מערכת זו d = 2 וכאן רק שתי ספרות מותרות, כלומר ai = 0 או 1.

כל מספר המבוטא במערכת הבינארית מיוצג כסכום מכפלת עוצמת הבסיס כפול הספרה הבינארית של הסיבית הנתונה. לדוגמה, ניתן לכתוב את המספר 101.01 כך: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, המתאים למספר במערכת העשרונית: 4 + 1 + 0.25 = 5.25 .

ברוב המחשבים הדיגיטליים המודרניים, מערכת המספרים הבינאריים משמשת לייצוג מספרים במכונה ולבצע בהם פעולות אריתמטיות.

מערכת המספרים הבינאריים, בהשוואה לזו העשרונית, מאפשרת לפשט את המעגלים והמעגלים של ההתקן האריתמטי והתקן הזיכרון ולהגביר את אמינות המחשב. הספרה של כל סיביות של מספר בינארי מיוצגת על ידי מצבי "הדלקה / כיבוי" של אלמנטים כגון טרנזיסטורים, דיודות, הפועלים באופן אמין במצבי "הדלקה / כיבוי". החסרונות של המערכת הבינארית כוללים את הצורך לתרגם לפי תוכנית מיוחדת את הנתונים הדיגיטליים המקוריים למערכת המספרים הבינארית ואת תוצאות ההחלטה לעשרוני.

מערכת מספרים אוקטליים

למערכת זו יש בסיס d == 8. מספרים משמשים לייצוג מספרים: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

מערכת המספרים האוקטליים משמשת במחשב ככלי עזר בהכנת בעיות לפתרון (בתהליך התכנות), בבדיקת פעולת מכונה ובניפוי באגים בתוכנה. מערכת זו נותנת ייצוג קצר יותר של המספר מאשר המערכת הבינארית. מערכת המספרים האוקטליים מאפשרת לך פשוט לעבור למערכת הבינארית.

מערכת מספרים הקסדצימלית

למערכת זו יש בסיס d = 16. 16 תווים משמשים לייצוג מספרים: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ו- התווים A ... F מייצגים את המספרים העשרוניים 10, 11, 12, 13, 14 ו-15. המספר ההקסדצימלי (1D4F) 18 יתאים למספר העשרוני 7503 מכיוון ש-(1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 16 15 x 16O = (7503)10

סימון הקסדצימלי מאפשר לכתוב מספרים בינאריים בצורה קומפקטית יותר מאשר אוקטלי. הוא מוצא יישומים בהתקני קלט ופלט ובהתקני הצגת סדר מספרים של מחשבים מסוימים.

מערכת מספרים בינאריים-עשרוניים

הייצוג של מספרים במערכת בינארית-עשרונית הוא כדלקמן. הציון העשרוני של המספר נלקח כבסיס, ואז כל ספרה שלו (מ-0 עד 9) נכתבת בצורה של מספר בינארי בן ארבע ספרות הנקרא טטרד, כלומר, אין סימן אחד שמשמש לייצוג כל ספרה של המערכת העשרונית, אבל ארבע.

לדוגמה, המספר העשרוני 647.59 יתאים ל-BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

מערכת המספרים הבינאריים-עשרוניים משמשת כמערכת מספרים ביניים ולקידוד מספרי קלט ופלט.

כללים להעברת מערכת מספרים אחת לאחרת

חילופי המידע בין התקני מחשב מתבצעים בעיקר באמצעות מספרים המיוצגים במערכת המספרים הבינארית. עם זאת, המידע מוצג למשתמש במספרים במערכת העשרונית, ופניית פקודות מוצגת במערכת האוקטלית. מכאן הצורך בהעברת מספרים ממערכת אחת לאחרת בתהליך העבודה עם מחשב. לשם כך, השתמש בכלל הכללי הבא.

כדי להמיר מספר שלם ממערכת מספרים כלשהי לאחרת, יש צורך לחלק מספר זה ברציפות בבסיס של המערכת החדשה עד שהמנה לא תהיה קטנה מהמחלק. יש לכתוב את המספר במערכת החדשה בצורה של שאריות חלוקה, החל מהאחרון, כלומר מימין לשמאל.

לדוגמה, הבה נמיר את המספר העשרוני 1987 לבינארי:

המספר העשרוני 1987 בפורמט בינארי הוא 11111000011, כלומר. (1987)10 = (11111000011)2

כאשר עוברים ממערכת כלשהי לעשרונית, המספר מיוצג כסכום חזקות הבסיס עם המקדמים המתאימים, ולאחר מכן מחושב ערך הסכום.

לדוגמה, הבה נמיר את המספר האוקטלי 123 לעשרוני: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, כלומר. (123)8 = (83)10

כדי להעביר את החלק השבר של מספר ממערכת כלשהי לאחרת, יש צורך לבצע כפל רצוף של שבר זה ושל החלקים השברים המתקבלים של המכפלה על בסיס מערכת המספרים החדשה. החלק השברי של מספר במערכת החדשה נוצר בצורה של חלקים שלמים של המוצרים המתקבלים, החל מהראשון. תהליך הכפל נמשך עד שמחושב מספר עם דיוק נתון.

לדוגמה, הבה נמיר את השבר העשרוני 0.65625 למערכת המספרים הבינארית:

מכיוון שהחלק השברי של המכפלה החמישית מורכב מאפסים בלבד, הכפל נוסף מיותר. המשמעות היא שהעשרוני הנתון מומר לבינארי ללא שגיאה, כלומר. (0.65625)10 = (0.10101)2.

המרה מאוקטלית והקסדצימלית לבינארית ולהיפך אינה קשה. הסיבה לכך היא שהבסיסים שלהם (d — 8 ו-d — 16) תואמים למספרים שלמים של שניים (23 = 8 ו-24 = 16).

כדי להמיר מספרים אוקטליים או הקסדצימליים לבינאריים, מספיק להחליף כל אחד מהמספרים שלהם במספר בינארי בן שלוש או ארבע ספרות, בהתאמה.

לדוגמה, בוא נתרגם את המספר האוקטלי (571)8 ואת המספר ההקסדצימלי (179)16 למערכת המספרים הבינארית.

בשני המקרים נקבל את אותה תוצאה, כלומר. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

כדי להמיר מספר מבינארי-עשרוני לעשרוני, עליך להחליף כל טטראד של המספר המיוצג בבינארי-עשרוני בספרה המיוצגת בעשרונית.

לדוגמה, בוא נכתוב את המספר (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 בסימון עשרוני, כלומר. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)