דרכים גרפיות להצגת זרם חילופין

עובדות בסיסיות של טריגונומטריה

קשה מאוד ללמוד AC אם התלמיד לא שולט במידע הבסיסי של טריגונומטריה. לכן, את ההוראות הבסיסיות של טריגונומטריה, שאולי יהיה צורך בעתיד, אנו נותנים בתחילת מאמר זה.

ידוע שבגיאומטריה נהוג, כאשר בוחנים משולש ישר זווית, לקרוא לצלע שממול לזווית הישרה תחתית. הצדדים הסמוכים בזווית ישרה נקראים רגליים. זווית ישרה היא 90 מעלות. כך באיור. 1, התחתון הוא הצלע המצוינת באותיות O, הרגליים הן הצלעות ab ו-aO.

באיור יש לציין שהזווית הישרה היא 90 מעלות, שתי הזוויות האחרות של המשולש הן חדות ומצויינות באותיות α (אלפא) ו-β (בטא).

אם מודדים את צלעותיו של משולש בסולם מסוים ולוקחים את היחס בין גודל הרגל מול הזווית α לערך התחתון, אז יחס זה נקרא סינוס של הזווית α. הסינוס של זווית מסומן בדרך כלל sin α. לכן, במשולש הימני שאנו רואים, הסינוס של הזווית הוא:

אם אתה מבצע את היחס על ידי לקיחת הערך של הרגל aO, הסמוכה לזווית החדה α, אל תת התחתון, אז יחס זה נקרא הקוסינוס של הזווית α. הקוסינוס של הזווית מסומן בדרך כלל באופן הבא: cos α . לפיכך, הקוסינוס של הזווית a שווה ל:

אורז. 1. משולש ישר זווית.

לדעת את הסינוס והקוסינוס של הזווית α, אתה יכול לקבוע את גודל הרגליים. אם נכפיל את הערך של תת-החולצה O ב-sin α, נקבל רגל ab. מכפילים את התחתון ב-cos α, נקבל את הרגל Oa.

נניח שהזווית אלפא לא נשארת קבועה, אלא משתנה בהדרגה, עולה. כאשר הזווית היא אפס, הסינוס שלה הוא גם אפס, שכן השטח שממול לזווית הרגל הוא אפס.

ככל שהזווית a תגדל, גם הסינוס שלה יתחיל לגדול. הערך הגדול ביותר של הסינוס יתקבל כאשר זווית האלפא תהפוך ישרה, כלומר היא תהיה שווה ל-90 מעלות. במקרה זה, הסינוס שווה לאחדות. לפיכך, לסינוס של הזווית יכול להיות הערך הקטן ביותר - 0 והגדול ביותר - 1. עבור כל ערכי הביניים של הזווית, הסינוס הוא שבר תקין.

הקוסינוס של הזווית יהיה הגדול ביותר כאשר הזווית היא אפס. במקרה זה, הקוסינוס שווה לאחדות, מכיוון שהרגל הסמוכה לזווית והתחתון במקרה זה יהיו בקנה אחד עם זה, והמקטעים המיוצגים על ידם שווים זה לזה. כאשר הזווית היא 90 מעלות, הקוסינוס שלו הוא אפס.

דרכים גרפיות להצגת זרם חילופין

זרם חילופין סינוסי או emf המשתנה עם הזמן ניתן לצייר כגל סינוס. סוג זה של ייצוג משמש לעתים קרובות בהנדסת חשמל. לצד ייצוג זרם חילופין בצורת גל סינוס, נעשה שימוש נרחב גם בייצוג של זרם כזה בצורה של וקטורים.

וקטור הוא גודל שיש לו משמעות וכיוון ספציפיים. ערך זה מיוצג כקטע קו ישר עם חץ בסופו. החץ צריך לציין את כיוון הווקטור, והקטע הנמדד בקנה מידה מסוים נותן את גודל הווקטור.

ניתן לייצג את כל השלבים של הזרם הסינוסואידי לסירוגין בתקופה אחת באמצעות וקטורים הפועלים כדלקמן. נניח שמקור הווקטור נמצא במרכז המעגל, וקצהו נמצא על המעגל עצמו. וקטור מסתובב זה נגד כיוון השעון מבצע מהפכה שלמה בזמן המקביל לתקופה אחת של שינוי נוכחי.

הבה נצייר מהנקודה המגדירה את מקור הווקטור, כלומר ממרכז המעגל O, שני קווים: האחד אופקי והשני אנכי, כפי שמוצג באיור.

אם עבור כל מיקום של הווקטור המסתובב מקצהו, המסומן באות A, נוריד את הניצבים לישר אנכי, אז קטעי הישר הזה מנקודה O לבסיס הניצב a יתנו לנו ערכים מיידיים של זרם החילופין הסינוסואידי, והווקטור OA עצמו בקנה מידה מסוים מתאר את המשרעת של זרם זה, כלומר, הערך הגבוה ביותר שלו. הקטעים Oa לאורך הציר האנכי נקראים הקרנות של הווקטור OA על ציר ה-y.

אורז. 2. תמונה של שינויים בזרם סינוסואידיים באמצעות וקטור.

לא קשה לאמת את תקפות האמור לעיל על ידי ביצוע הבנייה הבאה. ליד המעגל באיור, ניתן לקבל גל סינוס המתאים לשינוי במשתנה emf. בתקופה אחת, אם על הקו האופקי נצייר את המעלות הקובעות את שלב השינוי ב-EMF, ובכיוון האנכי נבנה מקטעים השווים לגודל הקרנת הווקטור OA על הציר האנכי.לאחר ביצוע בנייה כזו עבור כל נקודות המעגל שלאורכן קצה הווקטור OA מחליק, אנו מקבלים איור. 3.

התקופה המלאה של השינוי הנוכחי, ובהתאם, סיבוב הווקטור המייצג אותו, יכולה להיות מיוצגת לא רק במעלות מעגל, אלא גם ברדיאנים.

זווית של מעלה אחת מתאימה ל-1/360 של מעגל המתואר על ידי הקודקוד שלו. למדוד זווית זו או אחרת במעלות פירושו למצוא כמה פעמים זווית יסודית כזו כלולה בזווית הנמדדת.

עם זאת, בעת מדידת זוויות, אתה יכול להשתמש ברדיאנים במקום מעלות. במקרה זה, היחידה שאיתה מושווים זווית אחת או אחרת היא הזווית שאליה מתאימה הקשת, שווה באורכה לרדיוס של כל עיגול המתואר על ידי קודקוד הזווית הנמדדת.

אורז. 3. בניית הסינוסואיד EMF המשתנה לפי החוק ההרמוני.

לפיכך, הזווית הכוללת המקבילה לכל עיגול, נמדדת במעלות, היא 360 מעלות. זווית זו, הנמדדת ברדיאנים, שווה ל-2 π - 6.28 רדיאנים.

ניתן להעריך את מיקום הווקטור ברגע נתון לפי המהירות הזוויתית של סיבובו ולפי הזמן שחלף מתחילת הסיבוב, כלומר מתחילת התקופה. אם נסמן את המהירות הזוויתית של הווקטור באות ω (אומגה) ואת הזמן מאז תחילת התקופה באות t, אזי ניתן לקבוע את זווית הסיבוב של הווקטור ביחס למיקומו ההתחלתי כמכפלה :

זווית הסיבוב של הווקטור קובעת את השלב שלו, התואם לזה או אחר ערך זרם מיידי... לכן, זווית הסיבוב או זווית הפאזה מאפשרת לנו להעריך איזה ערך מיידי יש לזרם ברגע הזמן בו אנו מעוניינים. זווית פאזה נקראת לעתים קרובות פשוט פאזה.

הוכח לעיל כי זווית הסיבוב המלא של הווקטור, המבוטאת ברדיאנים, שווה ל-2π. סיבוב שלם זה של הווקטור מתאים לתקופת זרם חילופין אחת. הכפלת המהירות הזוויתית ω בזמן T המתאים לתקופה אחת, נקבל את הסיבוב המלא של וקטור זרם החילופין, המבוטא ברדיאנים;

לכן, לא קשה לקבוע שמהירות הזווית ω שווה ל:

החלפת התקופה T ביחס 1/f, נקבל:

המהירות הזוויתית ω על פי קשר מתמטי זה נקראת לעתים קרובות התדר הזוויתי.

דיאגרמות וקטוריות

אם לא זרם אחד פועל במעגל זרם חילופין, אלא שניים או יותר, אז הקשר ההדדי שלהם מיוצג בצורה גרפית בצורה נוחה. ייצוג גרפי של כמויות חשמליות (זרם, emf ומתח) יכול להיעשות בשתי דרכים. אחת מהשיטות הללו היא לשרטט סינוסואידים המציגים את כל שלבי השינוי בכמות החשמלית במהלך תקופה אחת. באיור כזה, אתה יכול לראות, קודם כל, מה היחס בין הערכים המקסימליים של הזרמים הנחקרים, emf. ומתח.

באיור. 4 מציג שני סינוסואידים המאפיינים את השינויים בשני זרמי חילופין שונים, זרמים אלו הם בעלי אותה תקופה והם בשלב, אך הערכים המרביים שלהם שונים.

אורז. 4. זרמים סינוסואידים בשלב.

לזרם I1 יש משרעת גבוהה יותר לזרם I2. עם זאת, ייתכן שזרמים או מתחים לא תמיד נמצאים בשלב. לעתים קרובות קורה שהשלבים שלהם שונים. במקרה זה אומרים שהם מחוץ לשלב. באיור. 5 מציג סינוסואידים של שני זרמים מוסטים פאזה.

אורז. 5. סינוסואידים של זרמים המוזזים ב-90 מעלות.

זווית הפאזה ביניהם היא 90 מעלות, שהם רבע מהתקופה.האיור מראה שהערך המרבי של ה-I2 הנוכחי מתרחש מוקדם יותר ברבע מהתקופה מהערך המרבי של ה-I1 הנוכחי. הנוכחי I2 מוביל את שלב I1 ברבע תקופה, כלומר ב-90 מעלות. ניתן לתאר את אותו קשר בין זרמים באמצעות וקטורים.

באיור. 6 מציג שני וקטורים עם זרמים שווים. אם נזכיר שכיוון הסיבוב של הווקטורים מוסכם להילקח נגד כיוון השעון, אז ברור למדי שהווקטור הנוכחי I2 המסתובב בכיוון המקובל קודם לוקטור הנוכחי I1. זרם I2 מוביל את זרם I1. אותה איור מראה שזווית ההובלה היא 90 מעלות. זווית זו היא זווית הפאזה בין I1 ל-I2. זווית הפאזה מסומנת באות φ (phi). דרך זו של הצגת כמויות חשמליות באמצעות וקטורים נקראת דיאגרמת וקטור.

אורז. 6. דיאגרמת וקטור של זרמים, הוסט בפאזה ב-90 מעלות.

כאשר מציירים דיאגרמות וקטוריות, אין צורך כלל לתאר עיגולים שלאורכם גולשים קצוות הווקטורים בתהליך הסיבוב הדמיוני שלהם.

באמצעות דיאגרמות וקטוריות, אסור לשכוח שניתן לתאר רק כמויות חשמליות עם אותו תדר, כלומר אותה מהירות סיבוב זוויתית של הווקטורים, על דיאגרמה אחת.