חוק Biot-Savart ומשפט המחזור של וקטור האינדוקציה המגנטי

בשנת 1820, המדענים הצרפתים ז'אן-בטיסט ביו ופליקס סווארד, במהלך ניסויים משותפים לחקר השדות המגנטיים של זרמים ישרים, קבעו באופן חד משמעי כי ההשראה המגנטית של זרם ישר הזורם דרך מוליך יכולה להיחשב כתוצאה של פעולה כללית של כל חלקי החוט הזה עם זרם. המשמעות היא שהשדה המגנטי מציית לעקרון הסופרפוזיציה (עקרון הסופרפוזיציה של שדות).

לשדה המגנטי שנוצר על ידי קבוצה של חוטי DC יש את הדברים הבאים אינדוקציה מגנטיתשערכו מוגדר כסכום הווקטור של האינדוקציות המגנטיות שנוצרו על ידי כל מוליך בנפרד. כלומר, האינדוקציה B של מוליך הזרם הישר יכולה להיות מיוצגת בצורה הוגנת על ידי הסכום הווקטורי של האינדוקציות היסודיות dB השייכות למקטעים היסודיים dl של מוליך הזרם הישר הנחשב I.

זה כמעט לא מציאותי לבודד קטע אלמנטרי של מוליך זרם ישר, כי זֶרֶם יָשָׁר תמיד סגור.אבל אתה יכול למדוד את סך האינדוקציה המגנטית שנוצרת על ידי חוט, כלומר, שנוצר על ידי כל החלקים היסודיים של חוט נתון.

לפיכך, חוק Biot-Sovar מאפשר לך למצוא את ערך האינדוקציה המגנטית B של הקטע (האורך הידוע dl) של המוליך, עם זרם ישר נתון I, במרחק מסוים r מקטע זה של המוליך וב- כיוון תצפית מסוים מהקטע שנבחר (מוגדר דרך הסינוס של הזווית בין כיוון הזרם לכיוון מקטע המוליך לנקודה הנבדקת בחלל ליד המוליך):

נקבע בניסוי כי כיוון וקטור האינדוקציה המגנטי נקבע בקלות על ידי הבורג הימני או כלל הגימבל: אם כיוון תנועת הטרנסלציה של הגימבל במהלך סיבובו עולה בקנה אחד עם כיוון הזרם הישר I בחוט, אז כיוון הסיבוב של ידית הגימבל קובע את כיוון וקטור האינדוקציה המגנטי B המופק על ידי זרם נתון.

השדה המגנטי של חוט נושא זרם ישר, כמו גם המחשה של היישום של חוק ביו-סווארט עליו, מוצגים באיור:

אז אם נשלב, כלומר נוסיף, את התרומה של כל אחד מהקטעים הקטנים של מוליך זרם קבוע לשדה המגנטי הכולל, נקבל נוסחה למציאת ההשראה המגנטית של מוליך זרם ברדיוס מסוים R ממנו. .

באותו אופן, באמצעות חוק ביו-סווארד, ניתן לחשב את האינדוקציות המגנטיות מזרמים ישירים בתצורות שונות ובנקודות מסוימות בחלל, למשל, ההשראה המגנטית במרכז מעגל מעגלי עם זרם נמצאת על ידי הנוסחה הבאה:

את כיוון וקטור האינדוקציה המגנטי ניתן למצוא בקלות לפי כלל הגימבל, רק שכעת יש לסובב את הגימבל לכיוון הזרם הסגור, והתנועה קדימה של הגימבל תראה את כיוון וקטור האינדוקציה המגנטי.

לעתים קרובות ניתן לפשט חישובים ביחס לשדה המגנטי אם ניקח בחשבון את הסימטריה של תצורת הזרמים הניתנת על ידי השדה המייצר. כאן ניתן להשתמש במשפט המחזור של וקטור האינדוקציה המגנטי (כמו משפט גאוס באלקטרוסטטיקה). מהי "מחזור של וקטור האינדוקציה המגנטי"?

הבה נבחר במרחב לולאה סגורה מסוימת בעלת צורה שרירותית ונציין באופן מותנה את הכיוון החיובי של תנועתה.לכל נקודה של לולאה זו, ניתן למצוא את ההשלכה של וקטור האינדוקציה המגנטי B על המשיק ללולאה באותה נקודה. אז סכום התוצרים של הכמויות הללו באורכים היסודיים של כל חלקי המתאר הוא המחזור של וקטור האינדוקציה המגנטי B לאורך קו המתאר הזה:

למעשה כל הזרמים שיוצרים כאן שדה מגנטי כללי יכולים לחדור למעגל הנדון, או שחלקם יכולים להיות מחוצה לו. לפי משפט המחזור: מחזור האינדוקציה המגנטי B של זרמים ישרים בלולאה סגורה שווה מספרית למכפלת הקבוע המגנטי mu0 בסכום כל הזרמים הישרים החודרים ללולאה. משפט זה נוסח על ידי אנדרה מארי אמפר בשנת 1826:

שקול את האיור שלמעלה. כאן, הזרמים I1 ו-I2 חודרים למעגל, אבל הם מכוונים לכיוונים שונים, מה שאומר שיש להם סימנים שונים מותנים.לסימן החיובי יהיה זרם שכיוון האינדוקציה המגנטית שלו (על פי הכלל הבסיסי) עולה בקנה אחד עם כיוון המעקף של המעגל הנבחר. עבור מצב זה, משפט המחזור מקבל את הצורה:

באופן כללי, המשפט למחזור של וקטור האינדוקציה המגנטי B נובע מעיקרון הסופרפוזיציה של השדה המגנטי ומחוק ביוט-סווארד.

לדוגמה, אנו גוזרים את הנוסחה עבור אינדוקציה מגנטית של מוליך זרם ישר. הבה נבחר קו מתאר בצורת מעגל, שמרכזו עובר חוט זה, והחוט מאונך למישור קו המתאר.

לפיכך מרכז המעגל נמצא ישירות במרכז המוליך, כלומר במוליך. מכיוון שהתמונה סימטרית, הווקטור B מכוון למשיק למעגל, והשלכתו על המשיק היא אפוא זהה בכל מקום ושווה לאורך הווקטור B. משפט המחזור נכתב כך:

לכן, הנוסחה להשראה מגנטית של מוליך ישר עם זרם ישר כדלקמן (נוסחה זו כבר ניתנה לעיל). באופן דומה, באמצעות משפט המחזור, אפשר למצוא בקלות את האינדוקציות המגנטיות של תצורות DC סימטריות שבהן קל לדמיין את התמונה של קווי השדה.

אחת הדוגמאות החשובות למעשה ליישום משפט המחזור היא מציאת השדה המגנטי בתוך משרן טורואידי.

נניח שיש סליל טורואיד כרוך סביב מסגרת קרטון בצורת סופגנייה עם מספר הסיבובים N. בתצורה זו, קווי האינדוקציה המגנטיים סגורים בתוך הסופגנייה וצורתם עיגולים קונצנטריים (זה בתוך זה). .

אם מסתכלים לכיוון וקטור האינדוקציה המגנטי לאורך הציר הפנימי של הסופגניה, מתברר שהזרם מכוון לכל מקום בכיוון השעון (לפי כלל הגימבל). שקול את אחד הקווים (המוצגים באדום) של אינדוקציה מגנטית בתוך הסליל ובחר אותו בתור לולאה מעגלית ברדיוס r. אז משפט המחזור עבור מעגל נתון נכתב כך:

והאינדוקציה המגנטית של השדה בתוך הסליל תהיה שווה ל:

עבור סליל טורואיד דק, שבו השדה המגנטי כמעט אחיד על פני כל חתך הרוחב שלו, אפשר לכתוב את הביטוי עבור ההשראה המגנטית כאילו עבור סולנואיד ארוך לאין שיעור, תוך התחשבות במספר הסיבובים ליחידת אורך - n:

חשבו עכשיו על סולנואיד ארוך לאין שיעור שבו השדה המגנטי נמצא כולו בפנים. אנו מיישמים את משפט המחזור על קו המתאר המלבני שנבחר.

כאן וקטור האינדוקציה המגנטי ייתן הקרנה שאינה אפס רק בצד 2 (אורכו שווה ל-L). באמצעות הפרמטר n - «מספר הסיבובים ליחידת אורך», נקבל צורה כזו של משפט המחזור, שבסופו של דבר מצטמצם לאותה צורה כמו עבור סליל טורואיד רב-טון-Coy: