משוואות מקסוול לשדה אלקטרומגנטי - החוקים הבסיסיים של האלקטרודינמיקה
מערכת המשוואות של מקסוול חייבת את שמה ואת הופעתה לג'יימס קלרק מקסוול, שניסח וכתב את המשוואות הללו בסוף המאה ה-19.
מקסוול ג'יימס קלארק (1831 - 1879) הוא פיזיקאי ומתמטיקאי בריטי מפורסם, פרופסור באוניברסיטת קיימברידג' באנגליה.
הוא שילב למעשה במשוואות שלו את כל תוצאות הניסוי שהושגו באותה תקופה על חשמל ומגנטיות, ונתן לחוקי האלקטרומגנטיות צורה מתמטית ברורה. החוקים הבסיסיים של האלקטרודינמיקה (משוואות מקסוול) נוסחו ב-1873.
מקסוול פיתח את משנתו של פאראדיי בדבר השדה האלקטרומגנטי לתיאוריה מתמטית קוהרנטית, שממנה נובעת האפשרות של התפשטות גל של תהליכים אלקטרומגנטיים. התברר שמהירות ההתפשטות של תהליכים אלקטרומגנטיים שווה למהירות האור (אשר ערכה היה ידוע כבר מניסויים).
צירוף מקרים זה שימש כבסיס למקסוול לבטא את הרעיון של הטבע המשותף של תופעות אלקטרומגנטיות ותופעות אור, כלומר. על הטבע האלקטרומגנטי של האור.
התיאוריה של תופעות אלקטרומגנטיות, שנוצרה על ידי ג'יימס מקסוול, מצאה את האישור הראשון שלה בניסויים של הרץ, שהשיג לראשונה גלים אלקטרומגנטיים.
כתוצאה מכך, משוואות אלו מילאו תפקיד חשוב ביצירת ייצוגים מדויקים של אלקטרודינמיקה קלאסית. ניתן לכתוב את המשוואות של מקסוול בצורה דיפרנציאלית או אינטגרלית. בפועל, הם מתארים בשפה היבשה של המתמטיקה את השדה האלקטרומגנטי ויחסו למטענים וזרמים חשמליים בוואקום ובמדיה רציפה. למשוואות האלה אתה יכול להוסיף ביטוי לכוח לורנץ, ובמקרה זה נקבל מערכת שלמה של משוואות של אלקטרודינמיקה קלאסית.
כדי להבין כמה מהסמלים המתמטיים המשמשים בצורות הדיפרנציאליות של משוואות מקסוול, הבה נגדיר תחילה דבר מעניין כמו האופרטור נאבלה.
מפעיל נאבלה (או מפעיל המילטון) הוא אופרטור דיפרנציאלי וקטורי שמרכיביו הם נגזרות חלקיות ביחס לקואורדינטות. למרחב האמיתי שלנו, שהוא תלת מימדי, מתאימה מערכת קואורדינטות מלבנית, שעבורה המפעיל nabla מוגדר כך:
כאשר i, j ו-k הם וקטורים של קואורדינטות יחידות
האופרטור nabla, כאשר מיושם על שדה בצורה מתמטית כלשהי, נותן שלושה שילובים אפשריים. שילובים אלו נקראים:
מִדרוֹן - וקטור, שכיוונו מציין את כיוון העלייה הגדולה ביותר של כמות מסוימת, שערכו משתנה מנקודה אחת במרחב לאחרת (שדה סקלארי), ובגודלו (מודול) שווה לקצב הצמיחה של זה. כמות בכיוון זה.
סטייה (דיברגנציה) — אופרטור דיפרנציאלי שממפה שדה וקטור לסקלרי (כלומר, כתוצאה מהפעלת פעולת הבידול על שדה וקטור, מתקבל שדה סקלרי), הקובע (עבור כל נקודה) "כמה השדה נכנס ו משאיר שכונה קטנה של נקודה נתונה מתפצלת ", ליתר דיוק עד כמה שונה הזרימה והיציאה.
רוטור (מערבולת, סיבוב) הוא אופרטור דיפרנציאלי וקטור מעל שדה וקטור.
עכשיו תחשוב ישר משוואות מקסוול בצורה אינטגרלית (שמאלית) ודיפרנציאלית (ימין).המכילים את החוקים הבסיסיים של שדות חשמליים ומגנטיים, כולל אינדוקציה אלקטרומגנטית.
צורה אינטגרלית: המחזור של וקטור עוצמת השדה החשמלי לאורך לולאה סגורה שרירותית עומד ביחס ישר לקצב השינוי של השטף המגנטי דרך האזור התחום על ידי לולאה זו.
צורה דיפרנציאלית: כל שינוי בשדה המגנטי מייצר שדה חשמלי מערבול פרופורציונלי לקצב השינוי של השראת השדה המגנטי.
משמעות פיזיקלית: כל שינוי בשדה המגנטי לאורך זמן גורם להופעת שדה חשמלי מערבולת.
צורה אינטגרלית: שטף השראת השדה המגנטי דרך משטח סגור שרירותי הוא אפס. זה אומר שאין מטענים מגנטיים בטבע.
צורה דיפרנציאלית: השטף של קווי שדה של אינדוקציה של שדה מגנטי בעל נפח אלמנטרי אינסופי שווה לאפס, מכיוון שהשדה הוא מערבול.
משמעות פיזיקלית: בטבע אין מקורות של שדה מגנטי בצורה של מטענים מגנטיים.
צורה אינטגרלית: המחזור של וקטור חוזק השדה המגנטי לאורך לולאה סגורה שרירותית עומד ביחס ישר לסך הזרם החוצה את פני השטח המכוסים בלולאה זו.
צורה דיפרנציאלית: שדה מגנטי מערבול קיים סביב כל מוליך נושא זרם ומסביב לכל שדה חשמלי מתחלף.
משמעות פיזיקלית: זרימת הזרם המוליך דרך חוטים והשינויים בשדה החשמלי עם הזמן מובילים להופעת שדה מגנטי מערבול.
צורה אינטגרלית: השטף של וקטור האינדוקציה האלקטרוסטטית דרך משטח סגור שרירותי העוטף את המטענים עומד ביחס ישר למטען הכולל שנמצא בתוך אותו משטח.
צורה דיפרנציאלית: השטף של וקטור האינדוקציה של השדה האלקטרוסטטי מנפח אלמנטרי אינסופי עומד ביחס ישר למטען הכולל באותו נפח.
משמעות פיזיקלית: מקור השדה החשמלי הוא מטען חשמלי.
ניתן להשלים את מערכת המשוואות הללו עם מערכת של מה שנקרא משוואות חומר המאפיינות את תכונות המדיום החומרי הממלא את החלל:
