מדוע משתמשים במספרים מרוכבים לחישובים במעגלי AC

כפי שאתה יודע, מספרים מרוכבים משמשים כדי לפתור כמה בעיות טיפוסיות בהנדסת חשמל. אבל למה הם משמשים ולמה זה נעשה כך? זה מה שננסה להבין במהלך מאמר זה. העובדה היא שהשיטה המורכבת או השיטה של ​​אמפליטודות מורכבות נוחה לחישוב מעגלי AC מורכבים. ולכתחילה, נזכיר כמה יסודות של מתמטיקה:

כפי שניתן לראות, המספר המרוכב z כולל את החלק הדמיוני ואת החלק הממשי, הנבדלים זה מזה ומסומנים בצורה שונה בטקסט. המספר המרוכב z עצמו יכול להיכתב בצורה אלגברית, טריגונומטרית או אקספוננציאלית:

רקע היסטורי

הוא האמין כי הרעיון של מספרים דמיוניים החל בשנת 1545, כאשר המתמטיקאי, המהנדס, הפילוסוף, הרופא והאסטרולוג האיטלקי ג'ירולמו קרדנו פרסם שיטה זו לפתרון משוואות בחיבורו "האמנות הגדולה", שם, על פי בין היתר. , הוא הודה שניקולו נתן לו את הרעיון לטרטליה (מתמטיקאי איטלקי) 6 שנים לפני פרסום העבודה הזו. בעבודתו, קראדנו פותר משוואות בצורה:

בתהליך פתרון המשוואות הללו, המדען נאלץ להודות בקיומו של מספר "לא אמיתי", שהריבוע שלו יהיה שווה למינוס אחד «-1», כלומר כאילו יש שורש ריבועי של מספר שלילי, ואם הוא כעת בריבוע, יתברר כמספר השלילי המתאים מתחת לשורש. קרדנו קבע את כלל הכפל, לפיו:

במשך שלוש מאות שנים, הקהילה המתמטית הייתה בתהליך של התרגלות לגישה החדשה שהציע קרדנו. מספרים דמיוניים משתרשים בהדרגה, אך מתמטיקאים אינם ששים לקבל. רק עם פרסום עבודותיו של גאוס על אלגברה, שם הוכיח את המשפט הבסיסי של האלגברה, המספרים המרוכבים התקבלו לבסוף במלואם, המאה ה-19 הייתה בפתח.

מספרים דמיוניים הפכו להצלת חיים אמיתית עבור מתמטיקאים מכיוון שהבעיות המורכבות ביותר הפכו הרבה יותר קלות לפתרון על ידי קבלת קיומם של מספרים דמיוניים.

אז עד מהרה זה הגיע להנדסת חשמל. מעגלי AC היו לפעמים מורכבים מאוד והיה צורך לחשב אינטגרלים רבים כדי לחשב אותם, מה שלעתים קרובות היה מאוד לא נוח.

לבסוף, בשנת 1893, דיבר מהנדס החשמל המבריק קרל אוגוסט שטיינמץ בשיקגו בקונגרס האלקטרוטכני הבינלאומי עם דו"ח "מספרים מורכבים ויישומם בהנדסת חשמל", שסימן למעשה את תחילת היישום המעשי של מהנדסים של השיטה המורכבת של חישוב מעגלים חשמליים עבור זרם AC.

אנחנו יודעים את זה מהקורס בפיזיקה זרם חליפין - זהו זרם שמשתנה עם הזמן גם בגודל וגם בכיוון.

בטכנולוגיה קיימות צורות שונות של זרם חילופין, אך הנפוצה ביותר כיום היא זרם סינוסואיד חילופין, זה מה שמשמש בכל מקום, בעזרתו מועבר חשמל, בצורת זרם חילופין, אשר נוצר, מומר ע"י. שנאים והוא נצרך בעומסים. זרם סינוסואידי משתנה מעת לעת בהתאם לחוק סינוסואידי (הרמוני).

הערכים האפקטיביים של הזרם והמתח פחותים מערכי המשרעת של השורש של פעמיים:

בשיטה המורכבת, הערכים האפקטיביים של זרמים ומתחים נכתבים באופן הבא:

שימו לב שבהנדסת חשמל, היחידה הדמיונית מסומנת באות «j», מכיוון שהאות «i» כבר משמשת כאן לציון זרם.

מ חוק אוהם קובע את הערך המורכב של ההתנגדות:

חיבור וחיסור של ערכים מורכבים נעשים בצורה אלגברית, וכפל וחילוק בצורה אקספוננציאלית.

בואו נשקול את השיטה של ​​אמפליטודות מורכבות באמצעות דוגמה של מעגל ספציפי עם ערכים מסוימים של הפרמטרים העיקריים.

דוגמה לפתרון בעיה באמצעות מספרים מרוכבים

נָתוּן:

• מתח סליל 50 וולט,

• התנגדות נגד 25 אוהם,

• השראות סליל 500 mH,

• הקיבולת החשמלית של הקבל היא 30 מיקרופארד,

• התנגדות סליל 10 אוהם,

• תדר רשת 50 הרץ.

מצא: קריאות מד זרם ומד מתח וכן מד וואט.

תשובה:

מלכתחילה, אנו רושמים את ההתנגדות המורכבת של אלמנטים המחוברים בסדרה, המורכבת מחלקים ממשיים ודמיוניים, ואז אנו מוצאים את ההתנגדות המורכבת של אלמנט פעיל-אינדוקטיבי.

זוכרים! כדי לקבל את הצורה האקספוננציאלית, מצא את המודול z שווה לשורש הריבועי של סכום הריבועים של החלק הממשי והדמיוני, ואת phi שווה לארקטנג'נט של המנה של החלק הדמיוני חלקי החלק הממשי.

אז נמצא את הזרם ובהתאם את קריאות מד הזרם:

אז מד הזרם מראה זרם של 0.317 A - זה הזרם דרך כל המעגל הסדרתי.

כעת נמצא את ההתנגדות הקיבולית של הקבל, ואז נקבע את ההתנגדות המורכבת שלו:

לאחר מכן אנו מחשבים את העכבה המורכבת הכוללת של מעגל זה:

כעת אנו מוצאים את המתח האפקטיבי המופעל על המעגל:

מד המתח יציג מתח אפקטיבי של 19.5 וולט.

לבסוף, אנו מוצאים את ההספק שמד הוואטים יציג, תוך התחשבות בהפרש הפאזה בין זרם למתח

מד הוואטים יציג 3.51 וואט.

עכשיו אתה מבין כמה חשובים מספרים מרוכבים בהנדסת חשמל. הם משמשים לחישוב נוח של מעגלים חשמליים. מכשירי מדידה אלקטרוניים רבים פועלים על אותו בסיס.