יסודות וחוקי האלגברה של ההיגיון
מתמטיקאי אירי מאמצע המאה ה-19 ג'ורג' בול פיתח את האלגברה של הלוגיקה ("לימוד חוקי החשיבה"). מכאן שהאלגברה של הלוגיקה נקראת גם אלגברה בוליאנית.
על ידי מתן ייעודי אותיות, הבעת פעולות של טרנספורמציות לוגיות בסמלי פעולה, ושימוש בכללים ואקסיומות שנקבעו לפעולות אלו, אלגברה של הלוגיקה מאפשרת לתהליך החשיבה בפתרון בעיה הנתונה במונחים של לוגיקה של הצהרות להיות מתואר במלואו באלגוריתמים , כלומר, שתהיה תוכנית כתובה מתמטית שתפתור בעיה זו.
כדי לציין את האמת או השקר של הצהרות (כלומר, להציג ערכים להערכת הצהרות), האלגברה של הלוגיקה משתמשת במערכת בינארית, נוחה במקרה זה. אם ההצהרה נכונה, היא מקבלת את הערך 1, אם היא שקר היא מקבלת את הערך 0. בניגוד למספרים בינאריים, 1 ו-0 לוגיים לא מבטאים כמות, אלא מצב.
לכן, במעגלים חשמליים המתוארים באמצעות אלגברה בוליאנית, כאשר 1 הוא נוכחות של מתח ו-0 הוא היעדרו, אספקת המתחים ממספר מקורות לצומת אחד של המעגל (כלומר, הגעה של מספר יחידות לוגיות שלו) היא מוצג גם כיחידה לוגית המציינת לא את המתח הכולל בצומת, אלא רק את נוכחותו.
כאשר מתארים את אותות הקלט והיציאה של המעגלים הלוגיים, משתמשים במשתנים שלוקחים את הערכים של 0 או 1 לוגיים בלבד. התלות של אותות המוצא בקלט נקבעת פעולה לוגית (פונקציה)... הבה נסמן את משתני הקלט באמצעות X1 ו-X2, ואת הפלט המתקבל על ידי פעולה לוגית עליהם באמצעות y.
תחשוב על זה שלוש פעולות לוגיות בסיסיות, בעזרתם ניתן לתאר מורכבים יותר ויותר.
1. פעולת OR - תוספת לוגית:
בהינתן כל הערכים האפשריים של המשתנים, ניתן להגדיר את פעולת ה-OR כמספיקות של יחידה אחת לפחות בקלט כדי לייצר אחת בפלט. שם הפעולה מוסבר על ידי המשמעות הסמנטית של האיחוד OR בביטוי: «אם OR הוא קלט אחד או השני הוא אחד, אז הפלט הוא אחד.»
2. פעולה AND — כפל לוגי:
מתוך התחשבות במערך המלא של הערכים של המשתנים, פעולת ה-AND מוגדרת כצורך להתאים את כל הערכים בכניסות כדי לקבל אחד על הפלט: "אם AND הוא קלט אחד והשני הוא אחדים, אז הפלט הוא אחד. «
3. פעולה NOT - שלילה לוגית או היפוך. זה מסומן בפס מעל המשתנה.
כאשר מתהפך, הערך של המשתנה מתהפך.
חוקי יסוד של אלגברה לוגית:
1. חוק קבוצת האפס: המכפלה של כל מספר משתנים נעלם אם אחד מהמשתנים הוא אפס, ללא קשר לערכים של משתנים אחרים:
2. חוק המכלול האוניברסלי - הסכום של כל מספר משתנים הופך לאחד אם לפחות לאחד מהמשתנים יש את הערך one, ללא קשר למשתנים אחרים:
3. חוק החזרה - ניתן להשמיט משתנים חוזרים בביטוי (במילים אחרות, אין אקספונציה וכפל במקדם מספרי באלגברה בוליאנית):
4. חוק ההיפוך הכפול - ההיפוך שבוצע פעמיים הוא פעולה ריקה:
5. חוק ההשלמה - המכפלה של כל משתנה והיפוך שלו הוא אפס:
6. הסכום של כל משתנה וההדדיות שלו הוא אחד:
7. חוקי מגן - התוצאה של ביצוע פעולות כפל וחיבור אינה תלויה בסדר שבו המשתנים הבאים:
8. חוקים משולבים - במהלך פעולות כפל וחיבור, ניתן לקבץ משתנים בכל סדר:
9. חוקי הפצה - מותר לשים את המקדם הכולל מחוץ לסוגריים:
10. דיני קליטה - ציינו דרכים לפשט ביטויים הכוללים משתנה בכל הגורמים והמונחים:
11. חוקי דה מורגן - היפוך המכפלה הוא סכום ההיפוכים של המשתנים:
היפוך הסכום הוא מכפלת ההיפוכים של המשתנים:
