זרימה ומחזור של שדה וקטור

מבוסס על חומרי ההרצאה של ריצ'רד פיינמן

כאשר מתארים את חוקי החשמל במונחים של שדות וקטורים, אנו עומדים בפני שתי תכונות חשובות מבחינה מתמטית של השדה הווקטור: שטף ומחזור. יהיה נחמד להבין מהם המושגים המתמטיים הללו ומה המשמעות המעשית שלהם.

על החלק השני של השאלה קל לענות מיד, כי המושגים של זרימה ומחזור נמצאים בלב המשוואות של מקסוול, שעליו נשענת למעשה כל האלקטרודינמיקה המודרנית.

כך, למשל, ניתן לנסח את חוק האינדוקציה האלקטרומגנטית באופן הבא: מחזור השדה החשמלי E לאורך לולאה סגורה C שווה לקצב השינוי של השטף של השדה המגנטי B דרך פני השטח S התחום על ידי זה. לולאה ב'.

בהמשך נתאר די בפשטות, תוך שימוש בדוגמאות נוזל ברורות, כיצד נקבעים מתמטית מאפייני השדה, מהם נלקחו ומתקבלים מאפייני השדה הללו.

שטף שדה וקטור

מלכתחילה, הבה נצייר משטח סגור מסוים בעל צורה שרירותית לחלוטין סביב האזור הנחקר. לאחר תיאור משטח זה, אנו שואלים האם מושא המחקר, שאנו מכנים שדה, זורם דרך המשטח הסגור הזה. כדי להבין על מה מדובר, שקול דוגמה נוזלית פשוטה.

נניח שאנו חוקרים את שדה המהירות של נוזל מסוים. עבור דוגמה כזו, הגיוני לשאול: האם יותר נוזל עובר דרך משטח זה ליחידת זמן מאשר זורם לנפח התחום על ידי משטח זה? במילים אחרות, האם קצב היציאה תמיד מכוון בעיקר מבפנים החוצה?

על ידי הביטוי "שטף שדה וקטור" (ולדוגמה שלנו הביטוי "שטף מהירות נוזל" יהיה מדויק יותר), נסכים למנות את הכמות הכוללת של נוזל דמיוני שזורם דרך פני השטח של הנפח הנחשב מוגבל על ידי נתון א. משטח סגור (עבור קצב זרימת הנוזל, כמה נוזל נובע מהנפח ליחידת זמן).

כתוצאה מכך, השטף דרך אלמנט השטח יהיה שווה למכפלת השטח של אלמנט השטח על ידי הרכיב הניצב של המהירות. אז השטף הכולל (סה"כ) על פני כל המשטח יהיה שווה למכפלת הרכיב הנורמלי הממוצע של המהירות, אותו נספור מבפנים החוצה, לפי שטח הפנים הכולל.

עכשיו נחזור לשדה החשמלי. השדה החשמלי, כמובן, אינו יכול להיחשב כמהירות זרימת נוזל כלשהו, ​​אך אנו רשאים להציג מושג מתמטי של הזרימה, בדומה למה שתיארנו לעיל כזרימת מהירות הנוזל.

רק במקרה של שדה חשמלי, ניתן לקבוע את השטף שלו לפי הרכיב הנורמלי הממוצע של עוצמת השדה החשמלי E. בנוסף, ניתן לקבוע את השטף של השדה החשמלי לאו דווקא דרך משטח סגור, אלא דרך כל משטח מוגבל של אזור S שאינו אפס.

מחזור של שדה וקטור

ידוע לכולם שלצורך בהירות רבה יותר, ניתן לתאר שדות בצורה של קווי כוח כביכול, שבכל נקודה שבה כיוון המשיק עולה בקנה אחד עם כיוון עוצמת השדה.

נחזור לאנלוגיית הנוזלים ונדמיין את שדה המהירות של הנוזל, נשאל את עצמנו שאלה: האם הנוזל במחזור? כלומר, האם הוא נע בעיקר לכיוון של איזו לולאה סגורה דמיונית?

לבהירות יותר, דמיינו שהנוזל במיכל גדול זז איכשהו (איור א') ולפתע הקפאנו כמעט את כל נפחו, אך הצלחנו להשאיר את הנפח לא קפוא בצורת צינור סגור אחיד שאין בו חיכוך הנוזל על הקירות (איור ב).

מחוץ לצינור זה, הנוזל הפך לקרח ולכן אינו יכול לזוז יותר, אך בתוך הצינור הנוזל מסוגל להמשיך בתנועתו, בתנאי שיש תנופה שוררת שמניעה אותו, למשל, בכיוון השעון (איור 1). .°C). אז המכפלה של מהירות הנוזל בצינור ואורך הצינור ייקרא מחזור מהירות הנוזל.

באופן דומה, אנו יכולים להגדיר מחזוריות עבור שדה וקטור, אם כי שוב לא ניתן לומר שהשדה הוא מהירות של משהו, בכל זאת אנו יכולים להגדיר את המאפיין המתמטי של "מחזוריות" לאורך קו מתאר.

אם כן, ניתן להגדיר את המחזור של שדה וקטור לאורך לולאה סגורה דמיונית כמכפלה של הרכיב המשיק הממוצע של הווקטור בכיוון המעבר של הלולאה - לפי אורך הלולאה.