שיטה סמלית לחישוב מעגלי AC

שיטה סמלית של פעולות עם כמויות וקטוריות מבוססת על רעיון פשוט מאוד: כל וקטור מפורק לשני מרכיבים: האחד אופקי, העובר לאורך האבשיסה, והשני, אנכי, עובר לאורך הסמטה. במקרה זה, כל הרכיבים האופקיים הולכים על קו ישר וניתן להוסיף אותם על ידי חיבור אלגברי פשוט, והרכיבים האנכיים מתווספים באותו אופן.

גישה זו מביאה בדרך כלל לשני רכיבים כתוצאה, אופקי ואנכי, אשר תמיד צמודים זה לזה באותה זווית של 90 מעלות.

ניתן להשתמש ברכיבים אלו כדי למצוא את התוצאה, כלומר לתוספת גיאומטרית. הרכיבים ישרי-זווית מייצגים את רגליו של משולש ישר זווית, והסכום הגיאומטרי שלהם מייצג את התחתון.

אפשר גם לומר שהסכום הגיאומטרי שווה מספרית לאלכסון של מקבילית הבנויה על הרכיבים וגם על צלעותיה... אם הרכיב האופקי מסומן ב-AG והרכיב האנכי ב-AB, אז הסכום הגיאומטרי ( 1)

מציאת הסכום הגיאומטרי של משולשים ישרים היא הרבה יותר קלה ממשולשים אלכסוניים. קל לראות את זה (2)

הופך ל-(1) אם הזווית בין הרכיבים היא 90 מעלות. מכיוון ש-cos 90 = 0, האיבר האחרון בביטוי הרדיקלי (2) נעלם, וכתוצאה מכך הביטוי מפושט מאוד. שימו לב שיש להוסיף אחת משלוש מילים לפני המילה "סכום": "אריתמטי", "אלגברי", "גיאומטרי".

תאנה. 1.

המילה "סכום" ללא ציון מה מוביל לאי ודאות ובמקרים מסוימים לטעויות גסות.

נזכיר שהווקטור המתקבל שווה לסכום האריתמטי של הוקטורים במקרה שבו כל הווקטורים הולכים על קו ישר (או מקבילים זה לזה) באותו כיוון. בנוסף, לכל הוקטורים יש סימן פלוס (איור 1, א).

אם הווקטורים הולכים על קו ישר אבל מצביעים בכיוונים מנוגדים, אז התוצאה שלהם שווה לסכום האלגברי של הוקטורים, ובמקרה זה לכמה איברים יש סימן פלוס ולאחרים יש סימן מינוס.

לדוגמה, בתרשים של איור. 1, b U6 = U4 - U5. אנו יכולים גם לומר שהסכום האריתמטי משמש במקרים שבהם הזווית בין הוקטורים היא אפס, אלגברית כאשר הזוויות הן 0 ו-180 מעלות. בכל שאר המקרים, החיבור מתבצע באופן וקטורי, כלומר נקבע הסכום הגיאומטרי (איור 1, ג).

דוגמה... קבע את הפרמטרים של גל הסינוס המקביל למעגל איור. 2, אבל סמלי.

תשובה. נצייר וקטורים Um1 Um2 ונפרק אותם לרכיבים. ניתן לראות מהציור שכל רכיב אופקי הוא ערך הווקטור כפול הקוסינוס של זווית הפאזה, והאנכי הוא ערך הווקטור כפול הסינוס של זווית הפאזה. לאחר מכן

תאנה. 2.

ברור שסך הרכיבים האופקיים והאנכיים שווים לסכומים האלגבריים של הרכיבים המתאימים. לאחר מכן

הרכיבים המתקבלים מוצגים באיור. 2, ב. קבע את הערך של אום עבור זה, חשב את הסכום הגיאומטרי של שני המרכיבים:

קבע את זווית הפאזה המקבילה ψeq. תאנה. 2, ב, ניתן לראות שהיחס בין המרכיב האנכי לאופקי הוא הטנגנס של זווית הפאזה המקבילה.

איפה

הסינוסואיד המתקבל כך הוא בעל משרעת של 22.4 וולט, שלב התחלתי של 33.5 מעלות עם אותה תקופה כמו הרכיבים. שימו לב שניתן להוסיף רק גלי סינוס מאותו תדר, מכיוון שכאשר מוסיפים עקומות סינוס בתדרים שונים, העקומה המתקבלת מפסיקה להיות סינוס וכל המושגים החלים רק על אותות הרמוניים הופכים לבלתי חוקיים במקרה זה.

הבה נחזור שוב על כל שרשרת הטרנספורמציות שיש לבצע באמצעות התיאורים המתמטיים של צורות הגל ההרמוניות בעת ביצוע חישובים שונים.

ראשית, הפונקציות הזמניות מוחלפות בתמונות וקטוריות, ואז כל וקטור מפורק לשני רכיבים בניצב זה לזה, ואז הרכיבים האופקיים והאנכיים מחושבים בנפרד, ולבסוף נקבעים ערכי הווקטור המתקבל והשלב הראשוני שלו.

שיטת חישוב זו מבטלת את הצורך להוסיף באופן גרפי (ובמקרים מסוימים לבצע פעולות מורכבות יותר, למשל, כפל, חלוקה, חילוץ שורשים וכו') עקומות סינוסואידיות ולפנות לחישובים באמצעות נוסחאות של משולשים אלכסוניים.

עם זאת, די מסורבל לחשב את הרכיבים האופקיים והאנכיים של הפעולה בנפרד.בחישובים כאלה, זה מאוד נוח להחזיק מנגנון מתמטי כזה שבאמצעותו אתה יכול לחשב את שני הרכיבים בבת אחת.

כבר בסוף המאה הקודמת פותחה שיטה המאפשרת חישובים בו-זמניים של מספרים משורטטים על צירים מאונכים זה לזה. המספרים על הציר האופקי נקראו ממשיים, והמספרים על הציר האנכי נקראו דמיוניים. בעת חישוב המספרים הללו, מתווסף גורם של ± 1 למספרים הממשיים, ו- ± j למספרים הדמיוניים (קרא "xi"). מספרים המורכבים מחלקים ממשיים ודמיוניים נקראים מורכב, ושיטת החישובים המבוצעת בעזרתם היא סמלית.

הבה נסביר את המונח "סמלי". הפונקציות שיש לחשב (הרמוניות במקרה זה) הן מקוריות, ואותם ביטויים שמחליפים את המקור הם תמונות או סמלים.

כאשר משתמשים בשיטה הסמלית, כל החישובים מבוצעים לא על המקורות עצמם, אלא על הסמלים שלהם (תמונות), אשר במקרה שלנו מייצגים את המספרים המרוכבים המתאימים, שכן הרבה יותר קל לבצע פעולות בתמונות מאשר במקורים עצמם.

לאחר השלמת כל פעולות התמונה, המקור המתאים לתמונה המתקבלת נרשם על התמונה המתקבלת. רוב החישובים במעגלים חשמליים נעשים בשיטה הסמלית.